ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Μαθησιακά Αποτελέσματα:

Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους κλάδους των Μαθηματικών. Το κύριο αντικείμενο μελέτης είναι η επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, τα μητρώα, οι ορίζουσες, καθώς επίσης και η μελέτη των διανυσματικών χώρων, των γραμμικών απεικονίσεων, των ιδιοτήτων και των εφαρμογών τους. Αν και θεωρητικά ορίζεται ως ένας αυτοτελής κλάδος των Μαθηματικών, η Γραμμική Άλγεβρα επειδή προσφέρει βασικά εργαλεία για τη μοντελοποίηση προβλημάτων αποτελεί κύριο προαπαιτούμενο σε διάφορα επιστημονικά πεδία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, στις Φυσικές Επιστήμες, στην Επιστήμη των Υπολογιστών, στις Επιστήμες Μηχανικού, στην Οικονομική και Διοικητική Επιστήμη κλπ. Το μάθημα έχει ως στόχο να εξοικειώσει τους φοιτητές με τις έννοιες που πραγματεύεται η Γραμμική Άλγεβρα δίνοντας έμφαση στη θεμελίωση των βάσεων που είναι απαραίτητες για επόμενα μαθήματα που εξαρτώνται άμεσα από τη γνώση του εν λόγω αντικειμένου. Συνολικός στόχος του μαθήματος είναι η αποτελεσματική χρήση των εννοιών στα μαθήματα της Επιστήμης των Υπολογιστών, των Τηλεπικοινωνιών και σε αντικείμενα συναφή με τη γενική περιοχή της Πληροφορικής.

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να κατανοούν την έννοια του διανύσματος, τη διαφορά του από ένα βαθμωτό μέγεθος και να είναι σε θέση να εκτελούν πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.
• Να κατανοούν την έννοια του μητρώου και να είναι σε θέση να εκτελούν πράξεις μεταξύ μητρώων ή να αναγνωρίζουν αν αυτό δεν είναι εφικτό.
• Να ερμηνεύουν την γεωμετρική φύση της λύσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
• Να κατανοούν τον πολλαπλασιασμό μητρώου με διάνυσμα ή με μητρώο μέσω γραμμικών συνδυασμών ή μέσω εσωτερικών γινομένων.
• Να επιλύουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με την απαλοιφή Gauss και με την παραγοντοποίηση LU και να μπορούν να υπολογίσουν το αντίστροφο, εφόσον υπάρχει, με τις εν λόγω μεθόδους.
• Να κατανοούν και να χρησιμοποιούν τις έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας.
• Να γνωρίζουν την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου και του υπόχωρου παραγόμενου από διανύσματα.
• Να κατανοούν τις έννοιες της βάσης και της διάστασης ενός διανυσματικού χώρου.
• Να γνωρίζουν τους τέσσερις βασικούς υποχώρους ενός μητρώου και σε περιπτώσεις μητρώων μικρών διαστάσεων να είναι σε θέση να τους υπολογίζουν χωρίς υπολογιστική μηχανή.
• Να κατανοούν και να μπορούν να αντιστρέφουν ορθογώνια μητρώα.
• Να γνωρίζουν τι είναι μητρώο ορθογώνιας προβολής και πώς να το υπολογίζουν.
• Να κατανοούν τη δομή και τη φύση ενός γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων καθώς και την τεχνική επίλυσης με χρήση κανονικών εξισώσεων.
• Να κατανοούν τις έννοιες της ιδιοτιμής και του ιδιοδιανύσματος και να είναι σε θέση να τα υπολογίζουν για μικρά τετραγωνικά μητρώα.
• Να γνωρίζουν την έννοια της διαγωνιοποίησης τετραγωνικού μητρώου καθώς και το πότε και πως αυτή επιτυγχάνεται.
• Να γνωρίζουν τι είναι η παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών και το ψευδοαντίστροφο μητρώου και να κατανοούν τη σημασία τους στην κατασκευή των υποχώρων του μητρώου και στη μείωση της διάστασης.
• Να αναγνωρίζουν μια γραμμική απεικόνιση και να είναι σε θέση να βρουν το μητρώο της απεικόνισης.
• Να βρίσκουν το μητρώο αλλαγής βάσης.

Γενικές Ικανότητες:


Οι ικανότητες που πρέπει να αποκτήσει ο πτυχιούχος και στις οποίες αποσκοπεί το μάθημα είναι:

• Προαγωγή ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
• Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων, τεχνικών και πληροφοριών, με τη χρήση των απαραίτητων τεχνικών.
• Ανάπτυξη και τεκμηρίωση επιχειρημάτων με αξιοποίηση δομημένης μαθηματικής σκέψης.
• Συνδυαστική ανάλυση μεθόδων για επίλυση προβλημάτων.
• Λήψη αποφάσεων.
• Ικανότητα μοντελοποίησης προβλημάτων του πραγματικού κόσμου.

Περιεχόμενο Μαθήματος:

Ενότητα 1. Εισαγωγή και επισκόπηση των βασικών εννοιών

• Διανύσματα, γραμμικοί συνδυασμοί, μέτρα (νόρμες) και πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.
• Μητρώα.
• Πράξεις μητρώων, ιδιότητες και κανόνες.
• Ειδικές μορφές μητρώων (αντίστροφο, ταυτοτικό).
• Εφαρμογές.

Ενότητα 2. Γραμμικές εξισώσεις και επίλυση

• Γραμμική εξίσωση, ερμηνεία και επίλυση.
• Μέθοδοι απαλοιφής και παραγοντοποίηση Α = LU.
• Αναστροφή και μετάθεση.
• Χώρος στηλών και μηδενοχώρος.
• Επίλυση της εξίσωσης AX = 0.

Ενότητα 3. Διανυσματικοί χώροι

• Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι.
• Η λύση της εξίσωσης ΑΧ=Β.
• Ο μηδενοχώρος του μητρώου Α.
• Η τάξη και η μορφή ανηγμένων γραμμών.
• Γραμμική ανεξαρτησία, βάση και διάσταση.
• Οι τέσσερεις θεμελιώδεις υπόχωροι.

Ενότητα 4. Ορθογωνιότητα

• Ορθογώνια διανύσματα και υπόχωροι.
• Προβολές σε υπόχωρους.
• Μητρώα προβολής και ελάχιστα τετράγωνα.
• Ορθοκανονικές βάσεις.
• Ορθογώνια μητρώα και η μέθοδος Gram-Schmidt.

Ενότητα 5. Ορίζουσες

• Υπολογισμός ορίζουσας και ίχνους μητρώου.
• Ιδιότητες οριζουσών.
• Μεταθέσεις και αλγεβρικά συμπληρώματα.
• Κανόνας Cramer, αντίστροφοι και όγκοι.

Ενότητα 6. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

• Εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.
• Διαγωνιοποίηση μητρώου και δυνάμεις μητρώου.
• Συμμετρικά μητρώα, συμμετρικά και θετικά ορισμένα μητρώα, όμοια μητρώα.
• Ανάλυση ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Decomposition).

Ενότητα 7. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

• Γραμμικός μετασχηματισμός και μητρώο.
• Αλλαγή βάσης.
• Αριστερό και δεξιό αντίστροφο μητρώου.
• Ψευδοαντίστροφο.